Question

已知=1,

求证: =1.

Answer 1

分析:观察条件和结论可知,证明的关键在于证明cos²α=cos²β,sin²α=sin²β,即证=cosβ,=sinβ,于是可考虑用构造向量法解决.

证明:由条件得()²+()²=1.

构造向量a=(,),b=(cosβ,sinβ),a与b的夹角为θ,则|a|²=1,|b|²=1,故|a|=|b|.

又a·b=··sinβ=1,

所以cosθ==1,即θ=0,a与b同向.

所以a=b,即=cosβ,=sinβ,cos²α=cos²β,sin²α=sin²β,

所以==1.

点评:本题若用三角变换证明将比较繁琐,而利用向量方法则十分简便.