Question

如图，△ABC为正三角形，平面AEC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：

(1)DE＝DA；

(2)平面BDM⊥平面ECA；

(3)平面DEA⊥平面ECA．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)取CE中点F，连结DF． 　　∵CE＝CA＝2BD， 　　∴四边形CFDB为矩形． 　　∴DF＝BC＝AB，EF＝DB，∠EFD＝∠ECB＝90°＝∠DBA． 　　∴△DEF≌△ADB． 　　∴DE＝AD． 　　(2)取AC中点G，连结BG、MG． 　　∵M、G是AE、AC中点， 　　∴MG∥CE∥BD． 　　∴B、M、G、D确定一个平面，且四边形MGBD为矩形． 　　∵BC＝BA，GC＝GA，∴GB⊥AC． 　　∵EC⊥平面ABC，BG平面ABC，∴EC⊥BG． 　　∴BG⊥平面ACE． 　　∵BD平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA． 　　(3)∵BG⊥平面ACE，BG∥DM， 　　∴DM⊥平面AEC． 　　∵DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．