Question

设函数f(x)＝x³―ax²―ax，g(x)＝2x²＋4x＋c．

(1)试问函数f(x)能否在x＝－1时取得极值？说明理由；

(2)若a＝－1，当x∈[－3，4]时，函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，求c的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题意(x)＝x2－2ax－a， 　　假设在x＝－1时f(x)取得极值，则有(－1)＝1＋2a－a＝0，∴a＝－1， 　　而此时，(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，函数f(x)在R上为增函数，无极值． 　　这与f(x)在x＝－1有极值矛盾，所以f(x)在x＝－1处无极值． 　　(2)设f(x)＝g(x)，则有x3－x2－3x－c＝0，∴c＝x3－x2－3x， 　　设F(x)＝x3－x2－3x，G(x)＝c，令F′(x)＝x2－2x－3＝0，解得x1＝－1或x＝3． 　　列表如下： 　　由此可知：F(x)在(－3，－1)、(3，4)上是增函数，在(－1，3)上是减函数． 　　当x＝－1时，F(x)取得极大值；当x＝3时，F(x)取得极小值 　　F(－3)＝F(3)＝－9，而． 　　如果函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点， 　　所以或c＝