Question

如图，棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°。

（Ⅰ）证明：BD⊥AA₁；（Ⅱ）在直线CC₁上是否存在点P，使BP//平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由。

Answer 1

  在A₁作A₁O⊥AC于点O，由于平面AA₁C_­1C⊥平面ABCD，由面面垂直的性质定理知，A₁O⊥平面ABCD，

又底面为菱形，所以AC⊥BD

……………………6分

（Ⅱ）存在这样的点P,连接B₁C，因为A₁B₁AB_DC

∴四边形A₁B₁CD为平行四边形。∴A₁D//B₁C

在C₁C的延长线上取点P，使C₁C=CP，连接BP

因B_­1­BCC₁，

∴BB₁CP    ∴四边形BB₁CP为平行四边形

则BP//B₁C     ∴BP//A₁D   ∴BP//平面DA₁C₁