Question

19．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-n，正项等比数列{b_n}中，b₂=a₃，b_n+3b_n-1=4b_n²（n≥2，n∈N₊），则log₂b_n=（　　）

• A． n
• B． 2n-1
• C． n-2
• D． n-1

Answer 1

分析 数列{a_n}的前n项和S_n=n²-n，a₁=S₁=0，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n．设正项等比数列{b_n}的公比为q＞0，b₂=a₃=4．b_n+3b_n-1=4b_n²（n≥2，n∈N₊），化为：q²=4，解得q，可得b_n．

解答 解：数列{a_n}的前n项和S_n=n²-n，∴a₁=S₁=0，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-2，n=1时也成立．
∴a_n=2n-2．
设正项等比数列{b_n}的公比为q＞0，b₂=a₃=4．
b_n+3b_n-1=4b_n²（n≥2，n∈N₊），∴${b}_{1}{q}^{n+2}•{b}_{1}{q}^{n-2}$=4$（{b}_{1}{q}^{n-1}）^{2}$，化为：q²=4，解得q=2．
∴b₁×2=4，解得b₁=2．
∴b_n=2ⁿ．
则log₂b_n=n．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．