Question

11．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{a}_{n}+n，n为奇数}\\{{a}_{n}-3n，n为偶数}\end{array}\right.$
（Ⅰ）设b_n=a_2n-$\frac{3}{2}$，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设S_n=$\sum_{k=t}^{n}{a}_{k}$，求满足S_n＞0的所有正整数n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用等比数列的定义结合已知数列递推式证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出a_2n，得到a_2n-1，进一步求出S_2n，再由S_2n-1=S_2n-a_2n得到S_2n-1，由函数的单调性求出满足S_n＞0的所有正整数n．

解答 （Ⅰ）证明：设${b}_{n}={a}_{2n}-\frac{3}{2}$，
∵$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{{a}_{2n+2}-\frac{3}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}=\frac{\frac{1}{3}{a}_{2n+1}+（2n+1）-\frac{3}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}（{a}_{2n}-6n）+（2n+1）-\frac{3}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}{a}_{2n}-\frac{1}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}$．
∴数列{b_n}是以${a}_{2}-\frac{3}{2}=-\frac{1}{6}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，${b}_{n}={a}_{2n}-\frac{3}{2}=-\frac{1}{6}•（\frac{1}{3}）^{n-1}=-\frac{1}{2}（\frac{1}{3}）^{n}$，即${a}_{2n}=-\frac{1}{2}•（\frac{1}{3}）^{n}+\frac{3}{2}$，
由${a}_{2n}=\frac{1}{3}{a}_{2n-1}+（2n-1）$，得${a}_{2n-1}=3{a}_{2n}-3（2n-1）=-\frac{1}{3}（\frac{1}{3}）^{n-1}-6n+\frac{15}{2}$．
∴${a}_{2n-1}+{a}_{2n}=-\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}）^{n-1}+（\frac{1}{3}）^{n}]-6n+9=-2$$•（\frac{1}{3}）^{n}-6n+9$．
S_2n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）
=$-2[\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}+…+（\frac{1}{3}）^{n}]-6（1+2+…+n）+9n$
=$-2•\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}-6•\frac{n（n+1）}{2}+9n$=$（\frac{1}{3}）^{n}-1-3{n}^{2}+6n=（\frac{1}{3}）^{n}-3（n-1）^{2}+2$．
显然，当n∈N^*时，{S_2n}单调递减，
又当n=1时，${S}_{2}=\frac{7}{3}$＞0，当n=2时，${S}_{4}=-\frac{8}{9}$＜0，
∴当n≥2时，S_2n＜0；
${S}_{2n-1}={S}_{2n}-{a}_{2n}=\frac{3}{2}•（\frac{1}{3}）^{n}-\frac{5}{2}-3{n}^{2}+6n$，
同理当且仅当n=1时，S_2n-1＞0．
综上，满足S_n＞0的所有正整数n为1和2．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的分组求和与等比数列的前n项和，考查数列的函数特性，是中档题．