Question

设函数f_n（x）=xⁿ+x﹣1，其中n∈N^*，且n≥2，给出下列三个结论：

①函数f₃（x）在区间（，1）内不存在零点；

②函数f₄（x）在区间（，1）内存在唯一零点；

③设x_n（n＞4）为函数f_n（x）在区间（，1）内的零点，则x_n＜x_n+1．

其中所有正确结论的序号为　　．

Answer 1

考点：

命题的真假判断与应用；函数的零点．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

①确定函数的单调性，利用零点存在定理，进行验证；

②确定函数的单调性，利用零点存在定理，进行验证；

③函数在（，1）上是单调增函数，f_n+1（x）＜f_n（x），即可得到结论．

解答：

解：①f₃（x）=x³+x﹣1，∵f₃′（x）=3x²+1＞0，∴函数在R上是单调增函数，∵f₃（）=﹣＜0，f₃（1）=1＞0，∴函数f₃（x）在区间（，1）内存在零点，即①不正确；

②f₄（x）=x⁴+x﹣1，∵f₄′（x）=4x³+1，∵x∈（，1），∴f₄′（x）＞0，∴函数在（，1）上是单调增函数，∵f₄（）=﹣＜0，f₄（1）=1＞0，∴函数f₄（x）在区间（，1）内存在零点，即②正确；

③f_n（x）=xⁿ+x﹣1，∵f_n′（x）=nx^n﹣1+1，∵x∈（，1），∴f_n′（x）＞0，∴函数在（，1）上是单调增函数，∵f_n+1（x）﹣f_n（x）=xⁿ（x﹣1）＜0，∴函数在（，1）上f_n+1（x）＜f_n（x），∵x_n（n＞4）为函数f_n（x）在区间（，1）内的零点，∴x_n＜x_n+1，即③正确

故答案为：②③

点评：

本题考查的知识点是零点存在定理，导数法判断函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．