Question

在正三角形ABC中，E、F分别是AB、AC边上的点，满足.（如图(1)）

将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连结A₁B、A₁C.（如图(2))

        

(1)                                (2)

（1）求证：A₁E⊥平面BEC；

（2）求直线A₁E与平面A₁BC所成角的大小.

Answer 1

解:不妨设正三角形ABC的边长为3，则

(1)证明:在题图(1)中，取BE中点D，连结DF，

∵==,∴AE=1,AF=2,而∠A=60°.∴EF⊥AE.

∴在题图(2)中有A₁E⊥EF,BE⊥EF.

∴∠A₁EB为二面角A₁EFB的平面角.

∵二面角A₁EFB为直二面角,

∴A₁E⊥BE.

又∵BE∩EF=E,∴A₁E⊥平面BEC.

(2)过E作EH⊥BC于H，连结A₁H，作EO⊥A₁H于O，证明EO⊥平面A₁BC，在直角三角形A₁EH中求得直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小为.