Question

在△ABC中，AC=5，AB=6，BC=7．
（1）求角A的大小；
（2）求cos(A+

4π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）根据余弦定理，结合题中数据算出cosA=

1

5

，即可得到角A=arccos

1

5

；
（2）算出sinA=

1-cos2A

=

2 6

5

，从而得到cos（A+

π

3

）=cosAcos

π

3

-sinAsin

π

3

=

1-6 2

10

，再利用π+α的诱导公式，可得cos(A+

4π

3

)=-cos（A+

π

3

）=

6 2 -1

10

．

解答：解：（1）∵△ABC中，AC=5，AB=6，BC=7
∴cosA=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

1

5

∵A∈（0，π），∴A=arccos

1

5

…（5分）
（2）根据题意，得cos(A+

4π

3

)=cos[π+(A+

π

3

)]=-cos（A+

π

3

）
∵cosA=

1

5

，A为锐角，得sinA=

1-cos2A

=

2 6

5

∴cos（A+

π

3

）=cosAcos

π

3

-sinAsin

π

3

=

1

5

×

1

2

-

2 6

5

×

3

2

=

1-6 2

10

∴cos(A+

4π

3

)=-

1-6 2

10

=

6 2 -1

10

…（10分）

点评：本题给出三角形的三条边的长，求角A的大小并依此求关于A的三角函数值式的值，着重考查了余弦定理、同角三角函数的基本关系和两角和的余弦公式等知识，属于基础题．