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    已知函数f(x)＝x－sinx，数列{an}满足：0＜a1＜1，an+1＝f(an)，n＝1，2，3，…．

    求证：(1)0＜an+1＜an＜1；

    (2)an＋1＜．

    答案：
    解析：

    　　证明：(1)先用数学归纳法证明0＜an＜1，n＝1，2，3，…．

    　　①当n＝1时，由已知知结论成立．

    　　②假设当n＝k时结论成立，即0＜ak＜1．

    　　因为0＜x＜1时，(x)＝1－cosx＞0，

    　　所以f(x)在(0，1)上是增函数．

    　　又f(x)在[0，1]上连续，从而f(0)＜f(ak)＜f(1)，

    　　即0＜ak+1＜1－sin1＜1．

    　　故当n＝k＋1时，结论成立．

    　　由①②可知，0＜an＜1对一切正整数都成立．

    　　又因为0＜an＜1时，an+1－an＝an－sinan－an＝－sinan＜0，

    　　所以an+1＜an．

    　　综上所述0＜an+1＜an＜1．

    　　(2)设函数g(x)＝sinx－x＋x3，0＜x＜1．

    　　由(1)知，当0＜x＜1时，sinx＜x．

    　　从而(x)＝cosx－1＋＝－2sin2＋＞－2()2＋＝0．

    　　所以g(x)在(0，1)上是增函数．

    　　又g(x)在[0，1]上连续，且g(0)＝0，

    　　所以当0＜x＜1时，g(x)＞0成立．

    　　于是g(an)＞0，即sinan－an＋an3＞0．

    　　故an＋1＜an3．


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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.

    (1)求实数m的值；

    (2)作出函数f(x)的图像；

    (3)根据图像指出f(x)的单调递减区间；

    (4)根据图像写出不等式f(x)>0的解集；

    (5)求当x∈[1,5)时函数的值域．

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    科目：高中数学 来源：新课标高三数学对数与对数函数、反比例函数与幂函数专项训练（河北） 题型：解答题

    已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝2loga(2x＋t)(t∈R)，其中x∈[0,15]，a＞0，且a≠1.
    (1)若1是关于x的方程f(x)－g(x)＝0的一个解，求t的值；
    (2)当0＜a＜1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范围；

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    科目：高中数学 来源：2014届江西省高二下学期第二次月考文科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.

    (1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；

    (2)若任意x∈R，f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

     

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    科目：高中数学 来源：2013届新课标高三配套第四次月考文科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.

    （1）求函数f(x)的单调区间；

    （2）若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；

    （3）当a＝1时，设函数f(x)在区间[t，t＋3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)，求函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值.

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年湖南省、岳阳县一中高三11月联考理科数学 题型：解答题

    （本小题满分13分）(第一问8分，第二问5分)

    已知函数f(x)＝2lnx，g(x)＝ax2＋3x.

    （1）设直线x＝1与曲线y＝f(x)和y＝g(x)分别相交于点P、Q，且曲线y＝f(x)和y＝g(x)在点P、Q处的切线平行，若方程f(x2＋1)＋g(x)＝3x＋k有四个不同的实根，求实数k的取值范围；

    （2）设函数F(x)满足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x2－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分别是函数f(x)与g(x)的导函数；试问是否存在实数a，使得当x∈(0,1］时，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.

     

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