Question

设函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx），其中0＜ω＜2．
（1）若f（x）的周期为π，求当-≤x≤时，f（x）的值域
（2）若函数f（x ）的图象的一条对称轴为x=，求ω的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）钭条件中的f（x）化成y=asin（ωx+φ）的形式，再利用f（x）的周期为π，求ω；利用三角函数的单调性求当-≤x≤时，f（x）的值域；
（2）三角函数图象与性质可得，正弦函数y=sinx的对称轴方程是：x=+kπ，由此求得ω的值．
解答：解：f（x）=sin2ωx+cos2ωx+=sin（2ωx+）+．
（1）因为T=π，所以ω=1．∴f（x）=sin2ωx+cos2ωx+=sin（2x+）+
当-≤x≤时，2x+∈[-，]，
所以f （x）的值域为[0，]．
（2）因为f（x）的图象的一条对称轴为x=，
所以2ω（）+=kπ+（k∈Z），
ω=k+（k∈Z），
又0＜ω＜2，所以-＜k＜1，又k∈Z，
所以k=0，ω=．
点评：本题考查主要有二个方面：一是考查三角函数本身的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等问题；二是通过三角函数（或三角函数与其它知识的综合）考查函数的性质，由于三角函数具有对称性与有界性等性质，因此，三角函数的图象和性质就成为研究函数性质时的典型例证．