Question

6．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cosB=$\frac{1}{4}$，b=2，sinC=2sinA，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\sqrt{15}$
• B． $\frac{\sqrt{15}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{15}}{6}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{4}$

Answer 1

分析 利用正弦定理和余弦定理求出a、c的值，再求△ABC的面积．

解答 解：△ABC中，cosB=$\frac{1}{4}$，b=2，sinC=2sinA，
由正弦定理得c=2a；
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+4a²-2a•2a•$\frac{1}{4}$=4a²=4，
解得a=1，∴c=2；
∴△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×1×2×$\sqrt{1{-（\frac{1}{4}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角形面积的计算问题，是基础题．