Question

设函数f(x)=(1+x)²-ln(1+x)²．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若关于x的方程f(x)=x²+x+a在[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f(x)的定义域为（-∞,-1）∪(-1,+∞)

(x)=2(x+1)- 

由(x)＞0得-2＜x＜-1或x＞0 

由（x）＜0得x＜-2或-1＜x＜0  ，

所以f(x)在（-2,-1）和(0,+∞)内为增函数，在(-∞,-2)和（-1，0）内为减函数  .

（2）方程f(x)=x²+x+a,即x-a+1-ln(1+x)²=0 

令g(x)=x-a+1-ln(1+x)²

则(x)=1- 

由(x)＞0得x＜-1或x＞1,由(x)＜0得-1＜x＜1

∴g(x)在[0,1]递减，在[1,2]递增 

所以f(x)=x²+x+a,即g(x)=0在[0,2]上恰有两个不同的实根 

解得2-2ln2＜a≤3-2ln3.