Question

正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AC∩BD＝Ｏ，A₁C₁∩B₁D₁＝O₁．

求证：OO₁⊥平面AC．

Answer 1

答案：
解析：

证法一：如图，连结O1A和O1C，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 　　∵AA1⊥A1B1，AA1⊥A1D1， 　　且A1B1∩A1D1＝A1， 　　∴A1A⊥平面A1C1． 　　∵A1C1平面A1C1， 　　∴A1A⊥A1C1．同理，CC1⊥A1C1． 　　∵A1O1＝O1C1，AA1＝CC1， 　　∴△AA1O1≌△CC1O1，O1A＝O1C． 　　∵O为AC中点， 　　∴O1O⊥BD．又AC∩BD＝O， 　　∴OO1⊥平面AC． 　　证法二：∵ABCD－A1B1C1D1为正方体， 　　∴AA1⊥AB，AA1⊥AD． 　　∵AB∩AD＝A， 　　∴AA1⊥平面AC． 　　∵AA1BB1，BB1CC1， 　　∴AA1CC1，四边形AA1C1C为平行四边形． 　　∵O、O1分别为AC、A1C1的中点， 　　∴OO1∥AA1，OO1⊥平面AC．