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    二阶矩阵M有特征值，其对应的一个特征向量e=，并且矩阵M对应的变换将点变换成点．

    （1）求矩阵M；

    （2）求矩阵M的另一个特征值及对应的一个特征向量．

     

    【答案】

    （1）（2），

    【解析】

    试题分析：（1）由于二阶矩阵M有特征值，其对应的一个特征向量e=，并且矩阵M对应的变换将点变换成点.所以通过假设二阶矩阵，其中有四个变量，根据以上的条件特征值与特征向量，以及点通过矩阵的变换得到的点，可得到四个相应的方程，从而解得结论.

    （2）求矩阵M的特征值，根据特征多项式.即，可求得的值，即可得另一个特征值.即可写出相应的一个特征向量.

    试题解析：（1）解：（1）设M=，则由=6得=，

    即a+b=c+d=6．

    由=,得，从而a+2b=8，c+2d=4．

    由a+b =6及a+2b=8，解得a=4，b=2；

    由c+d =6及c+2d=4，解得c=8，d=-2，

    所以M=

    （2）由（1）知矩阵的特征多项式为

    令，得矩阵的特征值为6与．

    当时，

    故矩阵的属于另一个特征值的一个特征向量为．

    考点：1.矩阵的变换.2.特征向量特征值的求法.3.线性问题模型化.

     

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    e1
    =
    1
    1
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    π
    6
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    .
    1
    1
    .
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    1
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    已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量
    .
    e1
    =
    .
    1 
    1 
    .
    ，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15）．
    （Ⅰ）求矩阵M．
    （Ⅱ）求M的另一个特征值和其所对应的一个特征向量．

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    e1
    =
    1
    1
    ，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（3，0），求矩阵M．

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