是否存在中心在坐标原点,长轴在x轴上的椭圆,使它的离心率e=,且点P(0,)到这个椭圆上的点的最远距离为7?若存在,求出这个方程,并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标;若不存在,请说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

是否存在中心在坐标原点,长轴在x轴上的椭圆,使它的离心率e=,且点P(0,)到这个椭圆上的点的最远距离为7?若存在,求出这个方程,并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标;若不存在,请说明理由.

解:假设存在这样的椭圆.∵e==,

设所求椭圆方程为=1,

∴x²=4b²-4y².

设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,

则d²=x²+(y-)²=4b²-3y²-3y+=-3(y+)²+4b²+3,其中-b≤y≤b.

若b＜,则当y=-b时,d²有最大值=4b²+3=()².

解得b²=1与b＜矛盾.

因此必有b≥成立,于是当y=-时,d²(从而d)有最大值.

∴()²=4b²+3,解得b=1,a=2.

故所求椭圆的标准方程为+y²=1.

由y=-及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点(,-)、(-,-)到点P的距离都是.

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在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y²=8x的焦点为F，椭圆Σ的中心在坐标原点，离心率e=

，且F是椭圆Σ的一个焦点．
（1）求椭圆Σ的标准方程；
（2）过F作垂直于x轴的直线，与椭圆Σ相交于A、B两点，试探究在椭圆Σ上是否存在点P，使△PAB为直角三角形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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（2013•湖北）如图，已知椭圆C₁与C₂的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C₁，C₂的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记λ=

，△BDM和△ABN的面积分别为S₁和S₂．
（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S₁=λS₂，求λ的值；
（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S₁=λS₂？并说明理由．

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（2011•延庆县一模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B与抛物线x²=4y的焦点重合，离心率e=

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l与椭圆交于M、N两点，且椭圆C的右焦点F恰为△BMN的垂心（三条高所在直线的交点），若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

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已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线y2=4

x的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程．
（2）已知经过定点M（2，0）且斜率不为0的直线l交椭圆C于A、B两点，试问在x轴上是否另存在一个定点P使得PM始终平分∠APB？若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由．

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