Question

已知点A（4m，0）B（m，0）（m是大于0的常数），动点P满足

AB

•

AP

=6m|

PB

|
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）点Q是轨迹C上一点，过点Q的直线l交x轴于点F（-m，0），交y轴于点M，若|

MQ

|=2|

QF

|，求直线的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设P(x，y)，则

AB

=(-3m，0)，

AP

=(x-4m，y)，

PB

=(m-x，-y).由题意知-3m(x-4m)=6m

(x-m)2+y2

.由此可知点P的轨迹C的方程为

x2

4m2

+

y2

3m2

=1.
（Ⅱ）设Q（x_Q，y_Q），直线l：y=k（x+m），则点M（0，km）．当

MQ

=2

QF

时，由于F(-m，0)，M(0，km)，得（x_Q，y_Q-km）=2（-m-x_Q，-y_Q），所以xQ=-

2m

3

，yQ=

1

3

km.由此可求出直线的斜率．

解答：解：（Ⅰ）设P(x，y)，则

AB

=(-3m，0)，

AP

=(x-4m，y)，

PB

=(m-x，-y).（3分）
∵

AB

•

AP

=6m|

PB

|，∴-3m(x-4m)=6m

(x-m)2+y2

.
则点P的轨迹C的方程为

x2

4m2

+

y2

3m2

=1.（5分）
（Ⅱ）设Q（x_Q，y_Q），直线l：y=k（x+m），则点M（0，km）．
当

MQ

=2

QF

时，由于F(-m，0)，M(0，km)，得（x_Q，y_Q-km）=2（-m-x_Q，-y_Q）
∴xQ=-

2m

3

，yQ=

1

3

km.（7分）
又点Q(-

2m

3

，

km

3

)在椭圆上，所以

4m2 9

4m2

+

k2m2 9

3m2

=1.
解得k=±2

6

.（9分）
当

MQ

=-2

QF

时，xQ=-2m，yQ=-km.（11分）
故直线l的斜率是0，±2

6

.（13分）

点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．