Question

对任意正偶数n，

求证：1－+－+…+－=2（++…+）.

Answer 1

证明：（1）当n=2时，等式左边=1－=，等式右边=2（）=，

∴左边=右边，等式成立.

（2）假设n=2k（k∈N^*）时等式成立，即

1－+－+…+－=2（++…+）成立.

当n=2k+2时（k∈N^*），

1－+－+…+－+－

=2（++…+）+－

=2（++…+++）+－－+－

=2［++…+］.

∴对n=2k+2（k∈N^*）等式成立.

由（1）（2）知对一切正偶数n=2k（k∈N^*）等式成立.

点评：（1）此题为数学归纳法证明问题的一种新题型，在传统问题论证对连续的正整数成立，而这里变成对连续的正偶数成立.归纳假设为n=2k与它连续的是2k+2，相当于由k到k+1，应注意体会数学归纳法的这种变形使用，把它用活.（2）本题亦可假设n=k（k为正偶数）成立，证明n=k+2成立.