Question

已知函数f（x）=ax³-3ax，g（x）=bx²+clnx，且g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为2y-1=0．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）求g（x）的导数g′（x），由g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为2y-1=0，得切线斜率k=g′（1）=0，g（1）=

1

2

；从而求得b、c的值；
（2）由f（x），g（x）得F（x）的解析式与定义域，求导函数F′（x），求出F′（x）＞0时x的取值范围即F（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）∵g（x）=bx²+clnx，
∴g′（x）=2bx+

c

x

；
由g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为2y-1=0，
得

g′(1)=0 g(1)= 1 2

，即

2b+c=0 b= 1 2

；
∴b=

1

2

，c=-1，
∴g（x）=

1

2

x²-lnx．
（2）∵f（x）=ax³-3ax，g（x）=

1

2

x²-lnx；
∴F（x）=f（x）+g（x）=ax³-3ax+

1

2

x²-lnx，定义域为（0，+∞），
∴F′（x）=3ax²-3a+x-

1

x

=

(x+1)(x-1)(3ax+1)

x

，
令F′（x）＞0，得（x-1）（3ax+1）＞0（*）
①若a≥0，则x＞1时，F′（x）＞0，即F（x）的单调递增区间为（1，+∞）；
②若a＜0，（*）式等价于（x-1）（-3ax-1）＜0，
当a=-

1

3

，则（x-1）²＜0无解，F′（x）＞0不成立，即F（x）无单调增区间；
当a＜-

1

3

，则-

1

3a

＜x＜1时，F′（x）＞0，即F（x）的单调递增区间为（-

1

3a

，1）；
当-

1

3

＜a＜0，则1＜x＜-

1

3a

时，F′（x）＞0，即F（x）的单调递增区间为（1，-

1

3a

）．

点评：本题考查了应用导数求函数图象的切线斜率以及应用导数判定函数的单调性问题，是易错题．