Question

求证：n棱柱中过侧棱的对角面的个数是f(n)＝n(n－3)．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)当n＝4时，四棱柱有2个对角面，×4×(4－3)＝2，命题成立． 　　(2)假设当n＝k(k∈N+，k≥4)时命题成立，即符合条件的棱柱的对角面有f(k)＝k(k－3)个，现在考虑n＝k＋1的情形，第k＋1条棱Ak+1Bk+1与其余和它不相邻的k－2条棱分别增加了1个对角面共k－2个，而面A1B1BkAk变成了对角面，因此对角面的个数变为f(k)＋(k－2)＋1＝k(k－3)＋k－1＝(k2－3k＋2k－2) 　　＝(k－2)(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3] 　　即f(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]成立． 　　由(1)(2)可知，命题对n≥4，n∈N+都成立． 　　思路分析：利用“递推”法，f(k＋1)－f(k)来寻找n＝k＋1比n＝k时增加的对角面的个数．