Question

已知f（x）=ax²（a∈R），g（x）=2lnx．
（1）讨论函数F（x）=f（x）-g（x）的单调性；
（2）若方程f（x）=g（x）在区间[

2

，e]上有两个不等解，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数F′（x），在函数的定义域内解不等式F′（x）＞0和F′（x）＜0，求出单调区间．
（2）方程f（x）=g（x）在区间[

2

，e]上有两个不等解等价于 a=

2lnx

x2

在[

2

，e]上有两个不等解，令h（x）=

2lnx

x2

，利用导数研究其单调性，从而得出它的最小值，即可得到a的取值范围．

解答：解：（1）F（x）=ax²-2lnx  （x＞0）所以 F′（x）=

2(ax2-1)

x

 （x＞0）
所以当a＞0时，函数在（0，

1

a

）上是减函数，在 （

1

a

，+∞）上是增函数，
a≤0时，函数在（0，+∞）上是减函数．
（2）方程f（x）=g（x）在区间[

2

，e]上有两个不等解，
等价于 a=

2lnx

x2

在[

2

，e]上有两个不等解
令h（x）=

2lnx

x2

则 h′（x）=

2x(1-2lnx)

x4

  
故函数h（x）在（

2

，

e

）上是增函数，在 （

e

，e）上是减函数．
所以 h（x）_max=h（

e

）=

1

e

又因为h（e）=

2

e2

＜h（2）=

ln2

2

=h （

2

）   
故  h（x）_min=h （

2

）=

ln2

2

所以

ln2

2

≤a＜

1

e

．
即a的取值范围：

ln2

2

≤a＜

1

e

．

点评：本小题主要考查函数的导数，单调性，函数的零点与方程根的关系等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．