Question

已知数列{a_n}（n∈N^*），函数f_n（x）=x²+3nx+a_n．若对一切正整数n，数列{b_n}中的项b_n与b_n+1是函数f_n（x）的两个不同的零点，且b₁₀=-10，则a₅₀=

5600

．

Answer 1

分析：由已知，b_n与b_n+1是函数f_n（x）=x²+3nx+a_n的两个不同的零点，即b_n与b_n+1是方程x²+3nx+a_n=0两个不同的根．
由韦达定理b_n+b _n+1，=-3n，且a_n=b_nb _n+1，．探求出b _n+2-b_n=-3，数列{b_n}中的奇数项、偶数项均构成以3为公差的等差数列．再利用b₁₀+b₁₁，=-30，由b₁₀=-10，得b₁₁，=-20．求出b₅₀，b₅₁再求出a₅₀．

解答：解：由已知，b_n与b_n+1是函数f_n（x）=x²+3nx+a_n的两个不同的零点，
即b_n与b_n+1是方程x²+3nx+a_n=0两个不同的根．
由韦达定理b_n+b _n+1，=-3n，①且a_n=b_nb _n+1，．③
所以b_n+1+b _n+2=-3（n+1），②
②-①得，b _n+2-b_n=-3，为常数，
所以数列{b_n}中的奇数项、偶数项均构成以3为公差的等差数列．
由b₁₀与b₁₁是函数f₁₀（x）=x²+30x+a₁₀的两个不同的零点，
即b₁₀与b₁₁是方程x²+30x+a₁₀=0两个不同的根．
由韦达定理b₁₀+b₁₁，=-30，由b₁₀=-10，得b₁₁=-20．
所以b₅₀=b₁₀+20×（-3）=-10-60=-70
b₅₁=b₁₁+20×（-3）=-20-60=-80．
由③得出a₅₀=b₅₀b₅₁=5600
故答案为：5600．

点评：本题考查变形构造推理、计算能力，考查了等差数列的判定、通项公式求解，以及函数零点的知识．