Question

已知函数f（x）=e^x（sinx-cosx），x∈（0，2013π），则函数f（x）的极大值之和为（　　）

• A、

  e2π(1-e2012π)

  e2π-1

• B、

  eπ(1-e2012π)

  1-e2π

• C、

  eπ(1-e1006π)

  1-e2π

• D、

  eπ(1-e1006π)

  1-eπ

Answer 1

分析：先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极大值f（2kπ+π）=e^2kπ+π，再利用数列的求和方法来求函数f（x）的各极大值之和即可．

解答：解：∵函数f（x）=e^x（sinx-cosx），
∴f′（x）=（e^x）′（sinx-cosx）+e^x（sinx-cosx）′=2e^xsinx，
∵x∈（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）时，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）（k∈Z）时，f′（x）＜0，
∴x∈（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）时f（x）递增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）（k∈Z）时f（x）递减，
∴当x=2kπ+π（k∈Z）时，f（x）取极大值，
其极大值为f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]
=e^2kπ+π×（0-（-1））
=e^2kπ+π，
又x∈（0，2013π），
∴函数f（x）的各极大值之和S=e^π+e^3π+e^5π+…+e^2011π
═

eπ(1-e2π×1006)

1-e2π

=

eπ(1-e2012π)

1-e2π

．
故选：B．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值以及等比数列求和的问题，解题的关键是求出f（x）的极大值，是中档题．