Question

（2010•安徽模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且acosB+acosC=b+c，则△ABC的形状是（　　）

A．等边三角形

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．直角三角形

Answer 1

分析：可利用余弦定理将cosB与cosC化为边的关系，

解答：解法1：∵cosB =

a2+c2-b2

2ac

，cosC =

a2+b2-c2

2ab

，
∴acosB+acosC=a•

a2+c2-b2

2ac

+a•

a2+b2-c2

2ab

=

a2•b +b•c2-b3+b2• c+a2•c-c3

2bc

=

a2(b +c)+bc(b+c)-b3-c3

2bc

=

a2(b +c)+bc(b+c)-(b+c)(b2-bc+c2)

2bc

=b+c，∵b+c＞0，
∴a²-b²-c²+2bc=2bc，
∴a²=b²+c²，
故选D．
解法2：由acosB+acosC=b+c可知，∠B，∠C不可能为钝角，过点C向AB作垂线，垂足为D，则acosB=BD≤BA=c，同理acosC≤b，
∴acosB+acosC≤b+c，
又∵acosB+acosC=b+c，
∴acosB=c，acosC=b，∴∠A=90°；
故选D．

点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查余弦定理与化简运算的能力，属于中档题．