Question

已知f(n)=sinn,n∈Z.求f(1)+f(2)+…+f(2 005).

Answer 1

解析：如果将n=1,n=2,…,n=2 005,分别代入计算，显然比较复杂.注意到f(n)的值周期性地重复出现，将会使计算大大简化.本题主要考查利用诱导公式求值.

解：∵sin=sin(2π+)=sin,k=1,2,3,…，8，

∴f(k)=f(k+8),则f(1)=f(9),f(2)=f(10),…,f(8)=f(16), …

于是f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=f(9)+f(10)+ …+f(16)= …

∵f(1)+f(2)+f(3)+ …+f(8)=sin+sin+sin+sinπ+sin+sin+sin+sin2π=0.

∵2 005=250×8+5,

∴f(1)+f(2)+…+f(2 005)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=sin+sin+sin+sinπ+sin=1+.