Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，E为BC的中点，∠BAD=∠ADC=90°，AB=3，CD=1，PA=AD=2．
（1）求证：DE⊥平面PAC；
（2）求PA与平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥ABCD，DE?ABCD，知PA⊥DE，取AD的中点F，连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，从而得到EF∥AB且EF=2，由此能够证明DE⊥平面PAC．
（2）法一：由平面PDE⊥平面PAC，设DE∩AC=G，连接PG，在Rt△PAG中作AH⊥PG，垂足为H，则AH⊥平面PDE，从而得以∠APH是PA与平面PDE所成的角，由此能求出PA与平面PDE所成角的正弦值．
法二：以A为原点，AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA与平面PDE所成角的正弦值．

解答：（1）证明：因为PA⊥ABCD，DE?ABCD，
所以PA⊥DE…（1分），
取AD的中点F，连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，
所以EF∥AB且EF=

AB+CD

2

=2…（3分），
在Rt△ADC和Rt△DEF中，∠EFD=∠ADC=90°，

EF

DF

=

AD

DC

=2，
所以△EFD∽△ADC…（5分），
∠FED=∠DAC，所以AC⊥DE…（6分），
因为PA∩AC=A，所以DE⊥平面PAC…（7分）．
（2）解法一：由（1）知平面PDE⊥平面PAC…（8分），
设DE∩AC=G，连接PG，在Rt△PAG中作AH⊥PG，垂足为H，则AH⊥平面PDE…（10分），
所以∠APH是PA与平面PDE所成的角…（11分），
由（1）知，在Rt△ADG中，AD=2，tan∠CAD=

CD

AD

=

1

2

，
所以AG=AD×cos∠CAD=

4

5

…（12分），
因为PA⊥ABCD，所以PG=

6

5

…（13分），
故PA与平面PDE所成角的正弦值sin∠APH=sin∠APG=

AG

PG

=

2

3

．…（14分）．
解法二：依题意，以A为原点，AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系…（8分），
则直线PA的方向向量为

AP

=(0，0，1)…（9分），
依题意，P（0，0，2）、D（2，0，0）、B（0，3，0）、C（2，1，0）、E（1，2，0）…（10分），
从而

DP

=(-2，0，2)，

DE

=(-1，2，0)…（11分），
设平面PDE的一个法向量为

n

=(a，b，c)，
则

n • DP =-2a+2c=0 n • DE =-a+2b=0

…（12分），
所以a=c=2b，可选取平面PDE的一个法向量为

n

=(2，1，2)…（13分），
所以PA与平面PDE所成角的正弦值为|cos?

n

，

AP

＞|=

| n • AP |

| n |•| AP |

=

2

3

…（14分）．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成的角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和向量法的合理运用．