Question

如图，l₁、l₂是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在l₁上，C在l₂上，AM=MB=MN。

（1）证明：AC⊥NB；
（2）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值。

Answer 1

解：（1）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M， 可得l2⊥平面ABN 由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB 又AN为AC在平面ABN内的射影 ∴AC⊥NB。
（2）∵Rt△CNA≌Rt△CNB ∴AC=BC， 又已知∠ACB =60°， 因此△ABC为正三角形 ∵Rt△ANB≌Rt△CNB ∴NC=NA=NB， 因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连结BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角， 在Rt△NHB中，。