Question

函数y=

4-cos2x-3sinx

2-sinx

的最大值是

7

3

．

Answer 1

分析：令sinx=t，-1≤t≤1，则有t²-3t+3=2y-yt，由题意可得函数f（t）=t²+（y-3）t+3-2y在[-1，1]上有零点，利用二次函数的性质求得y的取值范围，从而求出y的最大值．

解答：解：∵函数y=

4-cos2x-3sinx

2-sinx

=

4-(1-sin2x)-3sinx

2-sinx

=

sin2x-3sinx+3

2-sinx

，
令sinx=t，-1≤t≤1，则有t²-3t+3=2y-yt，即 t²+（y-3）t+3-2y=0在[-1，1]上有解．
即函数f（t）=t²+（y-3）t+3-2y在[-1，1]上有零点．
故有①

△=(y-3) 2-4(3-2y)≥0 -1≤ 3-y 2 ≤1 f(-1) = 7-3y≥0 f(1) = 1-y≥0

，或②

△=(y-3) 2-4(3-2y)≥0 f(-1) f(1)= (7-3y)(1-y)≤0

．
解①得 y=1，解②得 1≤y≤

7

3

．
综上可得，1≤y≤

7

3

，故y的最大值为

7

3

，
故答案为

7

3

．

点评：本题主要考查求三角函数的最值，二次函数的性质的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．