已知函数f(x)的周期为4.且等式f.对一切x∈R成立.求证:f(x)为偶函数．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知函数f（x）的周期为4，且等式f（2+x）=f（2-x），对一切x∈R成立，求证：f（x）为偶函数．

分析：先根据周期函数的定义得到f（4+x）=f（x），再根据“等式f（2+x）=f（2-x），对一切x∈R成立”得到f（4+x）=f（-x），从而很容易得到函数f（x）的奇偶性．

解答：解：∵函数f（x）的周期为4
∴f（4+x）=f（x）而f（2+x）=f（2-x），对一切x∈R成立
则将x+2代入上式x中得f（4+x）=f（-x）=f（x）
∴f（x）为偶函数

点评：本题主要考查了函数的周期性，以及函数奇偶性的判断，属于基础题．

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①函数y=f（x）的定义域和值域都是[0，π]；
②如果函数y=f（x）的定义域R，则函数y=f（x）是周期函数；
③如果函数y=f（x）的定义域R，则函数y=f（x）是奇函数；
④函数y=f（x）在区间[0，π]是单调递增函数．
以上结论的正确个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

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∫

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