Question

已知实数x，y分别满足：（x-3）³+2014（x-3）=1，（2y-3）³+2014（2y-3）=-1，则x²+4y²+4x的最小值是（　　）

• A、0
• B、26
• C、28
• D、30

Answer 1

分析：由于（x-3）³+2014（x-3）=1，（2y-3）³+2014（2y-3）=-1，两式相加再利用乘法公式可得：
（x+2y-6）[（x-3）²-（x-3）（2y-3）+（2y-3）²]+2014（x+2y-6）=0．由于
（x-3）²-（x-3）（2y-3）+（2y-3）²≥0，可得x+2y-6=0，把2y=6-x代入z=x²+4y²+4x再利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：∵（x-3）³+2014（x-3）=1，（2y-3）³+2014（2y-3）=-1，
两式相加可得：（x-3）³+（2y-3）³+2014（x-3）+2014（2y-3）=0，
化为（x+2y-6）[（x-3）²-（x-3）（2y-3）+（2y-3）²]+2014（x+2y-6）=0，
∴（x+2y-6）[（x-3）²-（x-3）（2y-3）+（2y-3）²+2014]=0，
∵（x-3）²-（x-3）（2y-3）+（2y-3）²≥0，
∴必有x+2y-6=0，把2y=6-x代入z=x²+4y²+4x得到
z=x²+（6-x）²+4x=2x²-8x+36=2（x-2）²+28≥28，
当且仅当x=2，y=2时取得最小值．
故选：C．

点评：本题考查了乘法公式和二次函数的单调性，属于中档题．