Question

已知函数

（Ⅰ）若，求函数的极值和单调区间；

(II) 若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

解：（I）因为 ，                  …………………2分

当，  ，                               

令，得 ，                                                     …………………3分

又的定义域为，

，随的变化情况如下表：

		0
		极小值

  所以时，的极小值为1 .                       …………………5分

的单调递增区间为，单调递减区间为；    …………………6分

（II）解法一：

因为 ，且，

   令，得到 ，

  若在区间上存在一点，使得成立，

  其充要条件是在区间上的最小值小于0即可.   …………………7分

  （1）当，即时，对成立，

所以，在区间上单调递减，

故在区间上的最小值为，

由，得，即     …………………9分

 （2）当，即时，

   ① 若，则对成立，所以在区间上单调递减，

     所以，在区间上的最小值为，

显然，在区间上的最小值小于0不成立    …………………11分

   ② 若，即时，则有

		极小值

      所以在区间上的最小值为，

由，

得 ，解得，即.             …………………13分

综上，由(1)（2）可知：符合题意.   …………………14分

  解法二：若在区间上存在一点，使得成立，  即，

因为, 所以，只需                 …………………7分

令，只要在区间上的最小值小于0即可

因为，

令，得                       …………………9分

（1）当时：

		极大值

   因为时，，而，

   只要，得，即        …………………11分

  （2）当时：

		极小值

    所以，当 时，极小值即最小值为，

由， 得 ，即.                …………………13分

      综上，由(1)（2）可知，有 .      …………………14分