Question

设二次函数满足f(x－2)＝f(－x－2)，图像与y轴交点的纵坐标为1，图像与x轴的交点为A、B，且|AB|＝，求f(x)的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1． 　　∵f(x－2)＝f(－x－2)， 　　∴a(x－2)2＋b(x－2)＋c＝a(x＋2)2－b(x＋2)＋c， 　　化简，得2(4a－b)x＝0，即4a－b＝0　　　　　① 　　令f(x)＝0，即ax2＋bx＋1＝0(a≠0)， 　　设A(x1，0)，B(x2，0)． 　　则由方程根与系数的关系， 　　有x1＋x2＝，x1x2＝， 　　由|AB|＝，即|x1－x2|＝， 　　知(x1－x2)2＝()2，即(x1＋x2)2－4x1x2＝8． 　　将x1＋x2＝，x1x2＝代入，得 　　－8＝0，即b2－4a－8a2＝0　　　　　　② 　　联立①②两方程求解，得a＝，b＝2． 　　解得f(x)＝x2＋2x＋1． 　　解法二：由f(x－2)＝f(－x－2)， 　　知函数f(x)的图像有对称轴x＝－2， 　　∴设f(x)＝a(x＋2)2＋k(a≠0)， 　　由f(0)＝1，得4a＋k＝1　　　　　　　　　　　① 　　令f(x)＝0，即ax2＋4ax＋(4a＋k)＝0， 　　将①代入，得ax2＋4ax＋1＝0． 　　设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1＋x2＝－4，x1x2＝， 　　由|AB|＝，即由|x1－x2|＝， 　　可得(x1＋x2)2－4x1x2＝8． 　　将x1＋x2＝－4，x1x2＝代入，得16＝8， 　　求得a＝，代入①，又求得k＝－1． 　　故f(x)＝(x＋2)2－1＝x2＋2x＋1．