Question

经市场调查,某商品在近100天内其销售量和价格均是时间t的函数,且销售量近似地满足关系:g(t)=-t+(t∈N^*,0＜t≤100).在前40天内价格为f(t)=t+22(t∈N^*,0＜t≤40)；在后60天内价格为f(t)=

- t+52(t∈N^*,40＜t≤100).求这种商品的日销售额的最大值(精确到1).

Answer 1

思路解析:因为已知某商品在近100天内其销售量和价格均是时间t的函数,由日销售额=销售价格×日销售量可求日销售额与时间的函数关系,再求该函数的最大值S=(t+22)(- t+)=-t²+t+799.

解:前40天内日销售额为

S=- (t-10.5)²+.

后60天内日销售额为S=(-t+52)(- t+)=t²-t+.

∴S=(t-106.5)²-.

函数关系式为S=

由上式可知对于0＜t≤40且t∈N^*,当t=10或11时,S_max=809.对于40＜t≤100且t∈N^*,当t=41时,S_max=714.

综上,得当t=10或11时,S_max=809.

深化升华

在实际问题中,经常有最少、最多、最优、最省等实际问题,在应用函数模型解决这些问题时,应该首先建立函数关系式,再对函数进行单调性分析,以此求函数的最大值和最小值,并且在分析时要特别注意函数的定义域问题.