Question

（本小题满分13分）

    已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．

   （1）求椭圆C的标准方程；

   （2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵焦距为4，∴ c=2………………………………………………1分

            又∵的离心率为……………………………… 2分

            ∴，∴a=，b=2………………………… 4分

            ∴标准方程为………………………………………6分

      （2）设直线l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

           由得……………………7分

           ∴x₁+x₂=，x₁x₂=

             由（1）知右焦点F坐标为（2，0），

             ∵右焦点F在圆内部，∴＜0………………………………8分

             ∴（x₁ -2）（x₂-2）+ y₁y₂＜0

             即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k² x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0…………………… 9分

             ∴＜0…………… 11分

             ∴k＜……………………………………………………………… 12分

             经检验得k＜时，直线l与椭圆相交，

             ∴直线l的斜率k的范围为（-∞，）……………………………13分