Question

椭圆

x2

6

+

y2

2

=1和双曲线

x2

3

-y²=0的公共焦点为F₁，F₂，P是两曲线的一个交点，则△PF₁F₂的面积为

2

．

Answer 1

分析：根据题意，算出两曲线公共的焦点坐标为F₁（2，0）、F₂（2，0）．设P（m，n），联解椭圆和双曲线的方程得|n|=

2

2

，再利用三角形的面积公式加以计算，即可得到△PF₁F₂的面积．

解答：解：∵椭圆

x2

6

+

y2

2

=1中，a²=6，b²=2，∴c²=a²-b²=4，得c=2，
因此椭圆的焦点坐标为F₁（2，0）、F₂（2，0），也是双曲线

x2

3

-y²=0的焦点．
∵P是两曲线的一个交点，设P（m，n）
∴联解

x2 6 + y2 2 =1 x2 3 -y2=1

，得x²=

9

2

，y²=

1

2

，所以|n|=

2

2

因此△PF₁F₂的面积为S=

1

2

|F₁F₂|•|n|=

2

故答案为：

2

点评：本题给出有公共焦点的椭圆与双曲线，求它们的一个交点与焦距构成的三角形的面积．着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．