Question

已知a＞0，函数．设，记曲线y=f（x）在点M（x₁，f（x₁））处的切线为l．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）设l与x轴交点为（x₂，0）．证明：
①；
②若，则．

Answer 1

解：（I）求f（x）的导数：，由此得切线l的方程：．
（II）证：依题意，切线方程中令y=0，．
①由
∴．
②．
分析：（I）欲求切线l的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义便不难发现，问题归结为求曲线y=f（x）在点M（x₁，f（x₁））的一阶导数值．
（Ⅱ）①要求x₂的变化范围，则须找到使x₂产生变化的原因，显然，x₂变化的根本原因可归结为x₁的变化，因此，找到x₂与x₁的等量关系式，就成；②欲比较x₂与x₁的大小关系，判断它们的差的符号即可．
点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力．