Question

定义在（0，）上的函数f（x），其导函数是f′（x），且恒有f（x）＜f′（x）•tanx成立，则（ ）
A．f（）＞f（）
B．f（）f（）
C．f（）＞f（）
D．f（）＜f（）

Answer 1

【答案】分析：把给出的等式变形得到f^′（x）sinx-f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g（x）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则g（ ）＜g（ ），整理后即可得到答案．
解答：解：因为x∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0．
由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f^′（x）sinx．
即f^′（x）sinx-f（x）cosx＞0．
令g（x）=，x∈（0，），则g′（x）=＞0．
所以函数g（x）=在x∈（0，）上为增函数，
则g（ ）＜g（ ），即 ＜，所以 ＜，
即 f（）＜f（）．
故选D．
点评：本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考查了函数构造法，属中档题型．