Question

设各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=2,a_n=a_n+2(n∈N^*).

(1)若a₂=,求a₃,a₄,并猜想a_{2 008}的值(不需证明);

(2)记b_n=a₁a₂…a_n(n∈N^*),若b_n≥2对n≥2恒成立,求a₂的值及数列{b_n}的通项公式.

Answer 1

解:(1)因a₁=2,a₂=2^-2,故a₃==2⁴,

a₄==2^-8.

由此有a₁=,a₂=,a₃=,a₄=,故猜想{a_n}的通项为a_n= (n∈N^*).

从而a_{2 008}=.

(2)令x_n=log₂a_n,S_n表示x_n的前n项和,则b_n=.

由题设知x₁=1且x_n=x_n+1+x_n+2(n∈N^*);①

S_n=x₁+x₂+…+x_n≥(n≥2).②

因②式对n=2成立,有≤x₁+x₂,又x₁=1得x₂≥.③

下用反证法证明:x₂≤.假设x₂＞.

由①得x_n+2+2x_n+1=(x_n+2+x_n+1)+ x_n+1=(x_n+1+2x_n).

因此数列{x_n+1+2x_n}是首项为x₂+2,公比为的等比数列.

故x_n+1+2x_n=(x₂+2)(n∈N^*).④

又由①知x_n+2-x_n+1=(x_n-x_n+1)-x_n+1=-2(x_n+1-x_n),

因此{x_n+1-x_n}是首项为x₂-,公比为-2的等比数列,所以x_n+1-x_n=(x₂-)(-2)^n-1(n∈N^*).⑤

由④-⑤得x_n=(x₂+2)-(x₂-)(-2)^n-1(n∈N^*).⑥

对n求和得S_n=(x₂+2)(2-)-(x₂-) (n∈N^*).⑦

由题设知S_2k+1≥,且由反证假设x₂＞有

(x₂+2)(2)-(x₂-)≥(k∈N^*).

从而(x₂-)·≤(x₂+2)(2)-＜2x₂+ (k∈N^*),

即不等式2^2k+1＜-1对k∈N^*恒成立.但这是不可能的,矛盾.

因此x₂≤,结合③式知x₂=.因此a₂==2.

将x₂=代入⑦式得S_n=2-(n∈N^*),

所以b_n== (n∈N^*).