我们在下面的表格内填写数值.先将第1行的所有空格填上1.再把一个首项为1.公比为q的等比数列{an}依次填入第一列的空格内.然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和的规则填写其他空格．第1列第2列第3列 - 第n列第1行 1 1 1 - 1 第2行 q 第3行 q2 - - 第n行 qn-1 (Ⅰ)设第2行的数依次为b1.b2.b3.-.bn.试用n.q� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

我们在下面的表格内填写数值，先将第1行的所有空格填上1，再把一个首项为1，公比为q的等比数列{a_n}依次填入第一列的空格内，然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格．

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q²
…	…
第n行	q^n-1

（Ⅰ）设第2行的数依次为b₁，b₂，b₃，…，b_n，试用n、q表示b₁+b₂+b₃+…+b_n的值；
（Ⅱ）设第3列的数依次为c₁，c₂，c₃，…，c_n，求证：对于任意非零实数q，总有c_m-1+c_m+1＞2c_m成立（其中2≤m≤n-1且m为偶数）；
（Ⅲ）能否找到一个实数q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？请说明理由．

分析：（1）根据“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则，写出b₁、b₂、b₃的表达式，从而归纳出b_n=（n-1）+q，利用等差数列前n项和公式即可算出用n、q表示b₁+b₂+b₃+…+b_n的式子；
（2）由题意，根据c₁、c₂、c₃的表达式，归纳出c_n用n、q表示的式子．将c_m-1+c_m+1与2c_m作差，化简整理得 c_m-1+c_m+1-2c_m=q^m＞0，从而得到对于任意非零实数q，总有c_m-1+c_m+1＞2c_m成立；
（3）若第k+1列的前三项成等比数列，则由等比中项的定义列式可解出q=

1-k

，同理当第m+1列的前三项成等比数列时，有q=

1-m

成立．由k≠m可得以上两个式子不能同时成立，因此无论怎样的q都不能同时找出除1列外的其他两列，使它们的前三项都成等比数列．

解答：解：（Ⅰ）∵b₁=q，b₂=1+q，b₃=1+（1+q）=2+q，…，b_n=（n-1）+q
∴b₁+b₂+…+b_n=1+2+…+（n-1）+nq=

n(n-1)

+nq…（3分）
（Ⅱ）c₁=1，c₂=1+（1+q）=2+q，c₃=（2+q）+（1+q+q²）=3+2q+q²，…，
c_n=n+（n-1）q+（ n-2）q²+…+2q^n-2+q^n-1．
∵c_m-1+c_m+1-2c_m=[（m-1）+（m-2）q+（m-3）q²+…+2q^m-3+q^m-2]+
[（m+1）+mq+（m-1）q²+…+2q^m-1+q^m]-2[m+（m-1）q+（m-2）q²+…+2q^m-2+q^m-1]=q^m
∴结合q为非零实数且m为偶数，可得q^m＞0，从而得到c_m-1+c_m+1＞2c_m …（6分）
（Ⅲ）设x₁，x₂，x₃和y₁，y₂，y₃分别为第k+1列和第m+1列的前三项，1≤k＜m≤n-1，
则x₁=1，x₂=k+q，x₃=（1+2+…+k）+kq+q²=

k(k+1)

+kq+q²
若第k+1列的前三项x₁，x₂，x₃是等比数列，则x₁x₃=x₂²
∴

k(k+1)

+kq+q2=(k+q)2即

k2-k

+kq=0，解得q=

1-k

同理，若第m+1列的前三项y₁，y₂，y₃是等比数列，则q=

1-m

∵当k≠m时，

1-k

≠

1-m

∴无论怎样的q，都不能同时找出除1列外的其他两列，使它们的前三项都成等比数列 …（10分）

点评：本题给出关于数列的二维表格，求第二行的第n项的通项公式并求前n项和，求第三列的通项满足的条件并讨论第k列的前三项成等比的问题．着重考查了等比数列的通项公式、前n项和公式、不等式的证明与数列的应用等知识点，属于中档题．

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（2007•上海）我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{a_n}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q²
…	…
第n行	q^n-1

（1）设第2行的数依次为B₁，B₂，…，B_n，试用n，q表示B₁+B₂+…+B_n的值；
（2）设第3列的数依次为c₁，c₂，c₃，…，c_n，求证：对于任意非零实数q，c₁+c₃＞2c₂；
（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究（只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．
①能否找到q的值，使得（2）中的数列c₁，c₂，c₃，…，c_n的前m项c₁，c₂，…，c_m （m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．
②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．

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科目：高中数学 来源：上海 题型：解答题

我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{a_n}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．