Question

已知函数f(x)=cos2x，g(x)=1+

1

2

sin2x．
（1）若点A（α，y）（α∈[0，

π

4

]）为函数f（x）与g（x）的图象的公共点，试求实数α的值；
（2）设x=x₀是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求g（2x₀）的值；
（3）求函数h(x)=f(x)+g(x)，x∈[0，

π

4

]的值域．

Answer 1

分析：（1）点A（α，y）为函数f（x）与g（x）的图象的公共点，得到两个函数之间的关系，得到角的表示形式，根据角的范围作出结果．
（2）对f（x）利用二倍角进行整理，写出对称轴的表示形式，代入g（x）得到结果．
（3）把两个函数的和的形式利用二倍角公式整理出可以求解函数的值域的形式，根据函数的定义域和正弦函数的图象求出值域

解答：解：（1）∵点A（α，y）（0≤α≤

π

4

）为函数f（x）与g（x）的图象的公共点
∴cos2α=1+

1

2

sin2α，⇒

1

2

+

1

2

cos2α=1+

1

2

sin2α⇒cos2α-sin2α=1（2分）
⇒cos²2α+sin²2α-2sin2αcos2α=1⇒sin4α=0
∴4α=kπ，k∈Z⇒α=

kπ

4

，k∈Z∵α∈[0，

π

4

]
∴α=0（4分）
（2）∵f(x)=cos2x=

1

2

+

1

2

cos2x
∴2x₀=kπ，k∈Z∴g（2x₀）=1+

1

2

sin4x0=1+

1

2

sin2kπ=1（7分）
（3）∵h（x）=f（x）+g（x）
∴h(x)=cos2x+1+

1

2

sin2x=

1

2

+

1

2

cos2x+1+

1

2

sin2x=

1

2

cos2x+

1

2

sin2x+

3

2

=

2

2

(

2

2

cos2x+

2

2

sin2x)+

3

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

（10分）
∵x∈[0，

π

4

]∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

∴

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1∴2≤

2

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

≤

3+ 2

2

．
即函数h（x）的值域为[2，

3+ 2

2

]．（12分）

点评：本题考查三角函数的恒等变形和对称性，值域，本题解题的关键是整理出函数的可以求解函数的性质的形式，即y=Asin（ωx+φ）的形式．