Question

在正三棱柱ABC-中，AB==a，E、F分别是棱和上的点，且BE=a，CF=2a．

求证：平面AEF⊥平面ACF．

Answer 1

答案：略
解析：

证法1：如图． ∵AB=BE=a，△ABE为等腰直角三角形， ∴AE=． 取CF的中点为G，连结EG，则BEGC为平行四边形， ∴BC=EG=a． ∵BC⊥，∴EG⊥GF． ∴△EGF为直角三角形． ∵EG=GF=a，∴EF=． ∴△AEF为等腰三角形． 分别取AF和AC的中点M、N，则MN∥CF且MN==CF=a=BE． ∴四边形BNME为平行四边形，从而有EM∥BN． 由于侧面⊥底面ABC，且两个平面的交线为AC，BN⊥AC，BN平面ABC，∴BN⊥平面． 从而有EM⊥平面． 又EM平面AEF，∴平面AEF⊥平面， 即平面AEF⊥平面ACF． 证法2：如图，BE=a，CF=2a，BE∥CF，延长FE，设FE的延长线与CB的延长线相交于点D，连结AD，则． ∴DB=BC=a=AB． ∴△ABD为等腰三角形，且∠ABD=120°． ∴∠DAB=∠BDA=30°． ∴∠DAC=90°，即DA⊥AC． 又∵FC⊥平面ACD，DA平面ACD，∴FC⊥DA． ∵AC∩FC=C，∴DA⊥平面ACF． 又DA平面AEF，∴平面AEF⊥平面ACF．

提示：

要证平面，只需平面ACF的一条垂线，又平面AEF∩平面ACF=AF，所以，这条垂线应垂直于AF，易证△AEF为等腰三角形，所以这条垂线也是AF边上的中线．因此有证法1． 由于，因此，要证平面AEF⊥平面ACF，只需证明平面AEF与平面ABC的交线垂直于平面ACF即可．因此有证法2．