Question

函数f(x)=(

1

2

)-x2+2mx-m2-1的单调增区间与值域相同，则实数m的取值为（　　）

A．-2

B．2

C．-1

D．1

Answer 1

分析：根据题意可知，函数t=-x²+2mx-m²-1的单调区间，以及值域，结合y=(

1

2

)t的单调性，从而确定函数f（x）的单调性，求出f（x）的值域，即可求得m的值．

解答：解：∵函数f(x)=(

1

2

)-x2+2mx-m2-1是由y=(

1

2

)t和t=-x²+2mx-m²-1复合而成的一个复合函数，
又t=-x²+2mx-m²-1=-（x-m）²-1，对称轴为x=m，图象开口向下，
∴函数t在（-∞，m]上单调递增，在[m，+∞）上单调递减，
函数y=(

1

2

)t在R上为单调递减函数，
∴f（x）在（-∞，m]上单调递减，在[m，+∞）上单调递增，
故f（x）_min=f（m）=(

1

2

)-1=2，
∴f（x）的值域为[2，+∞），
又函数f(x)=(

1

2

)-x2+2mx-m2-1的单调增区间与值域相同，
则[2，+∞）=[m，+∞），
∴m=2．
故选：B．

点评：本题考查了指数函数的单调性，函数的值域以及函数单调性的性质．指数函数的单调性与底数a的取值有关，本题涉及的是复合函数的单调性，复合函数单调性的判断规则是“同增异减”，注意求解函数单调性的时候，要先考虑函数的定义域，单调区间一定时定义域的子集．求函数值域常会运用函数的单调性进行求解．属于中档题．