Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个最低点位M(

2π

3

，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求|f（x）+1|+

π

2

的单调区间．

Answer 1

分析：通过函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，求出函数的周期，确定ω的值，利用图象上一个最低点位M(

2π

3

，-2)．求出A，结合0＜φ＜

π

2

，求出φ的值，即可得到函数的解析式．

解答：解：函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，所以函数的周期为：π，所以ω=

2π

T

=2；
图象上一个最低点位M(

2π

3

，-2)，所以A=2，并且-2=2sin（2×

2π

3

+φ），因为0＜φ＜

π

2

，所以φ=

π

6

，
（1）函数的解析式为：f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（2）函数|f（x）+1|+

π

2

的单调区间就是|f（x）+1|的单调区间，|f（x）+1|=|2sin（2x+

π

6

）+1|，令g（x）=|2sin（2x+

π

6

）+1|，作出g（x）的图象
所以|f（x）+1|+

π

2

的单调区间的单调增区间为：[kπ-

π

6

，kπ+

π

6

]，[kπ+

π

2

，kπ+

2π

3

]，k∈Z；
单调减区间为：[kπ+

π

6

，kπ+

π

2

]，[kπ+

2π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z

点评：本题是中档题，考查三角函数的解析式的求法，函数单调性的求法，利用函数的图象解决函数的单调性，方便简洁，注意转化思想的应用，考查计算能力．