Question

正数数列{a_n}的前n项和S_n，满足4S_n=（a_n+1）²，试求：
（1）数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=，数列的前n项的和为B_n，求证：B_n＜；
（3）设c_n=a_n•（）ⁿ，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由4S_n=（a_n+1）²，利用迭代法能求出a_n=2n-1．
（2）由==，利用裂项求和法能够证明B_n＜．
（3）由a_n=2n-1，知c_n=a_n•（）ⁿ=（2n-1）•（）ⁿ，利用错位相减法能够求出数列{c_n}的前n项和T_n．
解答：解：（1）∵4S_n=（a_n+1）²，
∴4S_n-1=（a_n-1+1）²，n≥2，
作差，得4（S_n-S_n-1）=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
∴4a_n=（a_n+a_n-1+2）（a_n-a_n-1），
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0．
∵{a_n}正数数列，∴a_n-a_n-1=2，
由2=a₁+1，得a₁=1，
∴a_n=2n-1．…（4分）
（2）∵==，
∴数列的前n项的和
B_n=…+
=，
故B_n＜．…（9分）
（3）∵a_n=2n-1，
∴c_n=a_n•（）ⁿ=（2n-1）•（）ⁿ，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=1+3•+5•（）³+…+（2n-3）•（）^n-1+（2n-1）•（）ⁿ，
T_n=1•+3•（）³+5•（）⁴…+（2n-3）•（）ⁿ+（2n-1）•（）ⁿ⁺¹，
∴=+2•（）²+2•（）³+2•（）⁴+…+2•（）ⁿ-（2n-1）•（）ⁿ⁺¹
=2×[+（）²+（）³+（）⁴+…+（）ⁿ]--（2n-1）•（）ⁿ⁺¹
=2×--（2n-1）•（）ⁿ⁺¹
=1-（）ⁿ--（2n-1）•（）ⁿ⁺¹
=-（）ⁿ-（2n-1）•（）ⁿ⁺¹，
∴T_n=1--（2n-1）（）ⁿ⁺¹=1-．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意迭代法、裂项求和法、错位相减法的合理运用．