Question

已知f(x)＝，对n∈N₊，试比较f()与的大小，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：设F(n)＝，

　　f()＝1－，

　　因而只需比较2ⁿ与n²的大小．

　　n＝1时，2¹＞1²；n＝2时，2²＝2²；n＝3时，2³＜3²，n＝4时，2⁴＝4²，n＝5时，2⁵＞5²，猜想n≥5时，2ⁿ＞n²，简证2^k＞k²(k≥5)，则当n＝k＋1时，

　　2^k+1＝2×2^k＞2×k²

　　＝k²＋k²＋2k＋1－2k－1

　　＝(k＋1)²＋(k－1)²－2＞(k＋1)²．

　　综上所述，n＝1或n≥5时，f()＞；

　　n＝2或4时，f()＝；n＝3时，f()＜．

　　思路分析：利用分析法探求需要推理证明的关系，然后用数学归纳法证明．