Question

7．（x-$\frac{1}{x}$）（2x+$\frac{1}{x}$）⁵的展开式中，常数项为-40．

Answer 1

分析 根据（x-$\frac{1}{x}$）（2x+$\frac{1}{x}$）⁵展开式中常数项是（2x+$\frac{1}{x}$）⁵展开式中的$\frac{1}{x}$项与x的乘积，加上x项与-$\frac{1}{x}$的乘积；利用（2x+$\frac{1}{x}$）⁵展开式的通项公式求出对应的项即可．

解答 解：（x-$\frac{1}{x}$）（2x+$\frac{1}{x}$）⁵展开式中常数项是
（2x+$\frac{1}{x}$）⁵展开式中的$\frac{1}{x}$项与x的乘积，加上含x项与-$\frac{1}{x}$的乘积；
由（2x+$\frac{1}{x}$）⁵展开式的通项公式为
T_r+1=${C}_{5}^{r}$•（2x）^5-r•${（\frac{1}{x}）}^{r}$=2^5-r•${C}_{5}^{r}$•x^5-2r，
令5-2r=-1，解得r=3，∴T₄=2²•${C}_{5}^{3}$•$\frac{1}{x}$=$\frac{40}{x}$；
令5-2r=1，解得r=2，∴T₃=2³•${C}_{5}^{2}$•x=80x；
所求展开式的常数项为
$\frac{40}{x}$•x+80x•（-$\frac{1}{x}$）=40-80=-40．
故答案为：-40．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．