Question

某人定制了一批地砖．每块地砖(如图1)所示是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1．若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH．

(1)求证：四边形EFGH是正方形．

(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)图(2)可以看成是由四块图(1)所示的地砖绕点C按顺时针旋转90°后得到，则有CE＝CF，∠ECF＝90°， 　　∴△CFE为等腰直角三角形． 　　同理，可得△CFG，△CGH，△CEH为等腰直角三角形． 　　∴四边形EFGH是正方形． 　　(2)设CE＝x，则BE＝0.4－x，每块地砖的费用为W，设制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a(元)， 　　W＝x2·3a＋×0.4×(0.4－x)×2a＋[0.16x2×0.4×(0.4－x)]a 　　＝a(x2－0.2x＋0.24) 　　＝a[(x－0.1)2＋0.23](0＜x＜0.4)． 　　由于a＞0，则当x＝0.1时，W有最小值，即总费用为最省， 　　即当CE＝CF＝0.1米时，总费用最省．

提示：

(1)由于四块地砖拼出了四边形EFGH，只需证明△CFE，△CFG，△CGH，△CEH为等腰直角三角形即可；(2)建立数学模型，转化为数学问题．设CE＝x，每块地砖的费用为W，求出函数W＝f(x)的解析式，转化为讨论求函数的最小值问题．