Question

设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n．

(1)若首项a₁＝，公差d＝1，求满足＝(S_k)²的正整数k；

(2)求所有的无穷等差数列{a_n}，使得对于一切正整数k，都有＝(S_k)²成立．

Answer 1

答案：
解析：

由①得a1＝0或a1＝1．当a1＝0时，代入②得d＝0或d＝6．若a1＝0，d＝0，则an＝0，Sn＝0，从而＝(Sk)2成立；若a1＝0，d＝6，则an＝6(n－1)，由S3＝18，(S3)2＝324，S9＝216知S9≠(S3)2，故所得数列不符合题意．当a1＝1时，代入②得4＋6d＝(2＋d)2，解得d＝0或d＝2．若a1＝1，d＝0，则an＝1，Sn＝0，从而＝(Sk)2成立；若a1＝1，d＝2，则an＝2n－1，Sn＝n2，从而＝(Sk)2成立．综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：an＝0，an＝1，an＝2n－1．