Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³$+\frac{1}{2}$（2+a）x²+（a-1）x，（a∈R）．
（Ⅰ）当a=-2时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）定义若函数H（x）有三个零点，分别记为α，β，γ，且α＜β＜γ，则称β为H（x）的中间零点，设x=t是函数g（x）=（x-t）f′（x）的中间零点．
（i）当t=1时，求a的取值范围；
（ii）当t=a时，设x₁，x₂，x₃是函数g（x）=（x-a）f′（x）的3个零点，是否存在实数b，使x₁，x₂，x₃，b的某种排列成等差数列，若存在求出b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=-2时，求导，利用导数与函数的单调性的关系即可求得函数的单调区间；
（Ⅱ）（i）当t=1时，求得g（x），当x=1是g（x）=（x-t）f′（x）的中间零点，令h（x）=x²+（a+2）x+a-1，则h（1）=2a+2＜0，即可求得a的取值范围；
（ii）由题意可知x₁，x₃，是x²+（a+2）x+a-1=0，根据等差数列的性质，分别讨论x₁，x₂，x₃，b的排列，结合韦达定理，即可求得b的值．

解答 解：（Ⅰ）当a=-2时，则f（x）=$\frac{1}{3}$x³-3x，
f′（x）=x²-3，令f′（x）=0，解得：x=±$\sqrt{3}$，
当x∈（-∞，-$\sqrt{3}$）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x∈（$\sqrt{3}$，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
综上可知：当x∈（-∞，-$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}$，+∞）时，f（x）单调递增，
当x∈（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）时，f（x）单调递减；
（Ⅱ）（i）g（x）=（x-t）f′（x）=（x-t）[x²+（a+2）x+a-1]，
由当x=1是g（x）=（x-t）f′（x）的中间零点，
令h（x）=x²+（a+2）x+a-1，则需要h（1）=2a+2＜0，
即a＜-1，
∴a的取值范围（-1，+∞）；
（ii）假设存在b满足条件，不妨x₂=a，x₁＜x₃，
则x₁＜x₂=a＜x₃，则x₁，x₃，是x²+（a+2）x+a-1=0，
则x₁+x₃=-（a+2），x₁x₃=a-1，
则x₁=$\frac{-（a+2）-\sqrt{{a}^{2}+8}}{2}$，x₃=$\frac{-（a+2）+\sqrt{{a}^{2}+8}}{2}$，
①当x₁，a，x₃，b成等差数列，则x₁+x₃=2a=-a-2，解得：a=-$\frac{2}{3}$，
则x₃-x₁=b-a=$\sqrt{{a}^{2}+8}$，
则b=a+$\sqrt{{a}^{2}+8}$=-$\frac{2}{3}$+$\sqrt{\frac{4}{9}+8}$=$\frac{2\sqrt{19}-2}{3}$，
②当b，x₁，a，x₃成等差数列，同理求得x₃-x₁=a-b=$\sqrt{{a}^{2}+8}$，
则b=a-$\sqrt{{a}^{2}+8}$=-$\frac{2}{3}$-$\sqrt{\frac{4}{9}+8}$=-$\frac{2\sqrt{19}+2}{3}$，
③当x₁，b，a，x₃成等差数列，同理求得x₃+x₁=a+b=-（a+2），则a=-$\frac{1}{2}$b-1，
x₁=2b-a=2b+$\frac{b}{2}$+1=$\frac{5}{2}b$+1，x₃=2a-b=-b-2-b=-2b-2，
∴x₁x₃=（$\frac{5}{2}b$+1）（-2b-2）=-5b²-7b-2=a-1=-$\frac{b}{2}$-2，
整理得：5b²+$\frac{13}{2}$b=0，解得：b=0或b=-$\frac{13}{10}$，
经检验b=0，b=-$\frac{13}{10}$，满足题意，
④当x₁，a，b，x₃成等差数列，x₁+x₃=a+b=-（a+2），则2a=-b-2，
x₁=2a-b=-2b-2，x₃=2b-a=2b+$\frac{b}{2}$+1=$\frac{5b}{2}$+1，
则x₁x₃=（-2b-2）（$\frac{5b}{2}$+1）=-5b²-7b-2=a-1=-$\frac{b}{2}$-2，
解得：b=0，或b=-$\frac{13}{10}$，
经检验b=0，b=-$\frac{13}{10}$，满足题意，
综上所述：b的取值为$\frac{2\sqrt{19}-2}{3}$，-$\frac{2\sqrt{19}+2}{3}$，0或-$\frac{13}{10}$．

点评 本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，等差数列的性质与韦达定理的综合应用，考查分类讨论思想，属于难题．