Question

如图，P是正方形ABCD的对角线BD上的任意一点，PECF是矩形，用向量证明PA=EF且PA⊥EF.

Answer 1

思路分析：把几何图形放在适当的坐标系中，赋予有关点与向量具体的坐标，进行相应的代数运算和向量运算.

证明：以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立如右图所示的坐标系，设正方形边长为1.又设P(λ，λ)(0＜λ＜1)，则A(0，1)，E(λ，0)，F(1，λ)，

∴||=，

||= (1－λ)²+λ²=2λ²－2λ+1.

∴||=||，即PA=EF.

由·=(－λ，1－λ)·(1－λ，λ)=(－λ)×(1－λ)+(1－λ)·λ

=－λ+λ²+λ－λ²=0.

∴⊥，即PA⊥EF.